TEKNISK FORSKRIFT Bestemmelse af måleusikkerhed TF8

• Definitioner som ligger til grund for dokumentet,

• metoder til evaluering af måleusikkerhed for inputstørrelser,

• sammenhængen mellem måleusikkerheden på outputstørrelsen og måleusikkerheden på inputstørrelserne,

• ekspanderet måleusikkerhed for outputstørrelsen,

• angivelse af måleusikkerhed,

• trinvis procedure for beregning af måleusikkerhed.

Gennemarbejdede eksempler på anvendelse af den skitserede metode på specifikke måleproblemer inden for forskellige områder vil blive givet i efterfølgende tillæg. Evaluering af måleusikkerhed behandles også i flere af de EAL-dokumenter, der giver vejledning vedrørende kalibreringsmetoder, og nogle af disse dokumenter indeholder specifikke gennemarbejdede eksempler.

1.3 Inden for EAL defineres bedste måleevne (der altid refererer til en bestemt størrelse, nemlig målestørrelsen) som den mindste måleusikkerhed, et laboratorium kan opnå inden for dets akkrediteringsområde, når det udfører mere eller mindre rutinemæssige kalibreringer af næsten ideelle målenormaler, der er beregnet på at definere, realisere, bevare eller reproducere en enhed af denne størrelse eller en eller flere af dens værdier, eller når det udfører mere eller mindre rutinemæssige kalibreringer af næsten ideelle måleinstrumenter, der er beregnet til måling af denne størrelse. Bedømmelsen af akkrediterede kalibreringslaboratoriers bedste måleevne skal baseres på metoden beskrevet i nærværende dokument. Bedømmelsen skal normalt være underbygget eller bekræftet ved eksperimentel dokumentation (præstationsprøvning). Til hjælp for akkrediteringsorganer i deres bedømmelse af bedste måleevne er der anført nogle yderligere forklaringer i Bilag A.

1. Oversigt og definitioneri

2.1 Angivelsen af et måleresultat er kun fuldstændig, hvis den indeholder både den værdi, der er tillagt målestørrelsen, og den måleusikkerhed, der er knyttet til denne værdi. I dette dokument behandles alle fysiske størrelser, der ikke kendes eksakt, som stokastiske variable inklusiv de influensstørrelser, der kan påvirke den målte værdi.

2.2 Måleusikkerheden er en parameter som er knyttet til resultatet af en måling og som karakteriserer den spredning af værdierne, som med rimelighed kan tilskrives målestørrelsen [ref. 2]. I dette dokument anvendes det korte udtryk usikkerhed i stedet for måleusikkerhed, når der ikke er risiko for misforståelse. Bilag C indeholder en liste over typiske kilder til usikkerhed ved en måling.

2.3 Målestørrelserne er de bestemte størrelser, der skal måles. Ved kalibrering har man normalt kun én målestørrelse eller outputstørrelse Y, der afhænger af et antal inputstørrelser Xi (i = 1,2, ..., N) ifølge funktionen

Y = f(X1, X2, ..., XN) (2.1)

Modelfunktionen f repræsenterer måleproceduren og beregningsmetoden. Den beskriver, hvordan værdier af outputstørrelsen Y fås af værdier af inputstørrelserne Xi . I de fleste tilfælde vil det være et analytisk udtryk, men det kan også være en gruppe af sådanne udtryk, som inkluderer korrektioner og korrektionsfaktorer for systematiske effekter, hvorved der fremkommer en mere kompliceret sammenhæng, der ikke kan nedskrives eksplicit som én funktion. Endvidere kan f fastlægges ved forsøg eller blot eksistere som en EDB-algoritme, som skal behandles numerisk - eller f kan være en kombination af alle disse.

2.4 Sættet af inputstørrelser Xi kan grupperes i to kategorier alt efter den måde, hvorpå størrelsens værdi og den tilhørende usikkerhed er blevet fastlagt:

(a) Størrelser, hvis estimat og tilhørende usikkerhed er direkte fastlagt under den pågældende måling. Disse værdier kan være bestemt ud fra en enkelt observation, gentagne observationer, eller et skøn baseret på erfaring. De kan omfatte bestemmelse af korrektioner til instrumentaflæsninger såvel som korrektioner for influensstørrelser såsom omgivende temperatur, barometertryk eller fugtighed,

(b) størrelser, hvis estimat og tilhørende usikkerhed tilføres målingen fra eksterne kilder, f.eks. størrelser knyttet til kalibrerede normaler, certificerede referencematerialer eller referencedata, der er hentet fra håndbøger.

2.5 Et estimat af målestørrelsen Y, outputestimatet betegnet y, fås af ligning (2.1) ved indsættelse af inputestimaterne xi for værdierne af inputstørrelserne Xi

y = f (x1, x2, ..., xN ) (2.2)

Det er underforstået, at inputværdierne er de bedste estimater, som er korrigeret for alle effekter af betydning for modellen. Hvis dette ikke er tilfældet, må de nødvendige korrektioner indføres som særskilte inputstørrelser.

2.6 For en stokastisk variabel benyttes variansen af dens fordeling eller den positive kvadratrod af variansen - kaldet standardafvigelsen - som et mål for spredningen på dens værdier. Den standardusikkerhed, der knytter sig til outputestimatet eller måleresultatet y - betegnet u(y) - er standardafvigelsen for målestørrelsen Y. Den skal fastlægges ud fra estimaterne xi over inputstørrelserne Xi og de tilhørende standardusikkerheder u(xi). Den standardusikkerhed, der er knyttet til et estimat, har samme dimension som estimatet. I visse tilfælde kan den relative standardusikkerhed være velegnet; dette er standardusikkerheden knyttet til et estimat divideret med estimates numeriske værdi og er derfor dimensionløs. Dette begreb kan ikke benyttes, hvis estimatet er lig nul.

1. Evaluering af måleusikkerhed for inputestimater

3.1 Generelle betragtninger

3.1.1 Måleusikkerhed knyttet til inputestimaterne vurderes i henhold til enten en "Type A" eller "Type B" evalueringsmetode. Type A evaluering af standardusikkerhed er metoden til vurdering af usikkerhed ved statistisk analyse af en serie observationer. I dette tilfælde er standardusikkerheden den eksperimentelle standardafvigelse af middelværdien, der fremkommet ved en midlingsprocedure eller en passende regressionsanalyse. Type B evaluering af standardusikkerhed er metoden til vurdering af usikkerhed på andre måder end ved statistisk analyse af en serie observationer. I dette tilfælde er vurderingen af standardusikkerheden baseret på andet videnskabeligt grundlag.ii

3.2 Type A evaluering af standardusikkerhed

3.2.1 En Type A evaluering af standardusikkerhed kan benyttes, når der er foretaget n uafhængige observationer af en af inputstørrelserne Xi under samme målebetingelser. Hvis der er tilstrækkelig opløsning i måleprocessen, vil der være en observerbar spredning eller fordeling af de opnåede værdier.

3.2.2 Lad os forudsætte, at den flere gange målte inputstørrelse Xi er størrelsen Q. Med n statistisk uafhængige observationer (n > 1) vil estimatet af størrelsen Q være , den aritmetiske middelværdi eller gennemsnit af de enkelte observerede værdier qj (j = 1,2,..., n)

(3.1)

Måleusikkerheden knyttet til estimatet , vurderes i henhold til en af følgende metoder:

(a) Et estimat over variansen af den underliggende sandsynlighedsfordeling er den eksperimentelle varians s2(q) af værdierne qj, der er givet ved

(3.2)

Dens (positive) kvadratrod benævnes den eksperimentelle standardafvigelse. Det bedste estimat over variansen af den aritmetiske middelværdi er den eksperimentelle varians af middelværdien givet ved

(3.3)

Dens (positive) kvadratrod benævnes den eksperimentelle standardafvigelse af middelværdien. Standardusikkerheden u() knyttet til inputestimatet er den eksperimentelle standardafvigelse af middelværdien

(3.4)

Advarsel: Når antallet n af gentagne målinger er lavt (n < 10), må pålideligheden af en Type A vurdering af standardusikkerhed som udtrykt ved ligning (3.4) tages i betragtning. Hvis antallet af observationer ikke kan forøges, bør man overveje at evaluere standardusikkerheden på en af de andre måder beskrevet i dette dokument.

(b) For en måling, der er vel defineret og under statistisk styring, er det ofte muligt at bestemme et kombineret eller kumuleret variansestimat sp2 , som karakteriserer spredningen bedre end den standardafvigelse, der beregnes ud fra et begrænset antal observationer. Hvis man i et sådant tilfælde fastlægger værdien af inputstørrelsen Q som den aritmetiske middelværdi af et lille antal n uafhængige observationer, kan variansen af middelværdien estimeres ved

(3.5)

Standardusikkerheden udledes af denne værdi ved ligning (3.4).

3.3 Type B evaluering af standardusikkerhed

3.3.1 En Type B evaluering af standardusikkerhed er en vurdering af usikkerheden knyttet til et estimat xi af en inputstørrelse Xi på anden vis end ved en statistisk analyse af en serie observationer. Standardusikkerheden u(xi) vurderes ved et videnskabeligt skøn baseret på alle tilgængelige oplysninger om den mulige variation af Xi. Værdier tilhørende denne kategori kan udledes af

• tidligere måledata,

• erfaring med eller almindelig viden om relevante materialers og instrumenters opførsel og egenskaber,

• fabrikantspecifikationer,

• data angivet i kalibrerings- og andre certifikater, samt

• usikkerheder knyttet til referencedata taget fra håndbøger.

3.3.2 Behørig anvendelse af de tilgængelige oplysninger for en Type B evaluering af standardusikkerhed kræver indsigt baseret på erfaring og almindelig viden. Det er en færdighed, der kan læres ved øvelse. En velfunderet Type B evaluering af standardusikkerhed kan være lige så pålidelig som en Type A evaluering af standardusikkerhed - navnlig i en målesituation hvor en Type A evaluering kun er baseret på et relativt lille antal statistisk uafhængige observationer. Der må skelnes mellem følgende tilfælde:

(a) Når der kun kendes en enkelt værdi af størrelsen Xi, f.eks. en enkelt målt værdi, en resulterende værdi fra en tidligere måling, en referenceværdi fra litteraturen, eller en korrektionsværdi, benyttes denne værdi for xi. Standardusikkerheden u(xi) knyttet til xi skal benyttes, hvor den er givet. Ellers må den beregnes ud fra entydige usikkerhedsdata. Hvis data af denne art ikke forefindes, må usikkerheden vurderes på grundlag af erfaring.

(b) Når der kan antages en sandsynlighedsfordeling for størrelsen Xi, på grundlag af teori eller erfaring, skal fordelingens middelværdi anvendes som estimatet xi , medens kvadratroden af fordelingens varians anvendes som estimat for standardusikkerheden u(xi).

(c) Hvis blot en øvre og nedre grænse a+ og a- for værdien af størrelsen Xi kan estimeres, (f.eks. fabrikantspecifikationerne for et måleinstrument, et temperaturinterval, en afrundings- eller trunkeringsfejl som følge af automatiseret datareduktion), må der antages en sandsynlighedsfordeling med konstant sandsynlighedstæthed mellem disse grænser (rektangulær sandsynlighedsfordeling) for den mulige variation af inputstørrelsen Xi. I henhold til ovenstående tilfælde (b) fører dette til

(3.6)

for den estimerede værdi og

(3.7)

for kvadratet på standardusikkerheden. Hvis forskellen mellem grænseværdierne benævnes 2a, giver ligning (3.7)

(3.8)

Den rektangulære fordeling er en rimelig sandsynlighedsmæssig beskrivelse af ens kendskab til inputstørrelsen Xi, når der ikke foreligger andre oplysninger end grænserne for dens variation. Men hvis man ved, at værdier af den pågældende størrelse nær ved midten af variationsintervallet er mere sandsynlige end værdier tæt ved grænserne, kan en trekantfordeling eller en normalfordeling være en bedre model. Hvis på den anden side værdier tæt ved grænserne er mere sandsynlige end værdier nær ved midten, kan en U-formet fordeling være mere passende.

1. Beregning af outputestimatets standardusikkerhed

4.1 For ukorrelerede inputstørrelser er kvadratet på standardusikkerheden knyttet til outputestimatet y, givet vediii

(4.1)

Størrelsen ui(y)(i = 1,2,.., N) er det bidrag til standardusikkerheden knyttet til outputestimatet y, som hidrører fra standardusikkerheden knyttet til inputestimatet xi

(4.2)

hvor ci er følsomhedskoefficienten knyttet til inputestimatet xi, dvs. den partielle afledede af modelfunktionen f med hensyn til Xi, beregnet ved inputestimaterne xi,

(4.3)

4.2 Følsomhedskoefficienten ci beskriver i hvilken udstrækning outputestimatet y påvirkes af variationer i inputestimatet xi. Den kan beregnes ud fra modelfunktionen f ved hjælp af ligning (4.3) eller ved at benytte numeriske metoder, f.eks. ved at beregne ændringen i outputestimatet y forårsaget af en ændring af inputestimatet xi med størrelsen +u(xi) henholdsvis -u(xi) og som værdien af ci at tage den deraf følgende forskel i y divideret med 2u(xi). Undertiden kan det være mere hensigtsmæssigt at finde ændringen i outputestimatet y ud fra et forsøg ved at gentage målingen ved f.eks. xi ±u(xi).

4.3 Medens u(xi) altid er positiv, er bidraget ui(y) i henhold til ligning (4.2) enten positivt eller negativt, afhængigt af fortegnet af følsomhedskoefficienten ci. Fortegnet af ui(y) må tages i betragtning, i de tilfælde hvor inputstørrelserne er korrelerede, se ligning (D.4) i Bilag D.

4.4 Hvis modelfunktionen f er en sum eller differens af inputstørrelserne Xi,

(4.4)

er outputestimatet i henhold til ligning (2.2) givet ved den tilsvarende sum eller differens af inputestimaterne

(4.5)

medens følsomhedskoefficienterne er lig med pi og ligning (4.1) bliver til

(4.6)

4.5 Hvis modelfunktionen f er et produkt eller en kvotient af inputstørrelserne Xi,

(4.7)

er outputestimatet igen det tilsvarende produkt eller kvotient af inputestimaterne

(4.8)

Følsomhedskoefficienterne er i dette tilfælde lig med pi y/xi og et udtryk analogt med ligning (4.6) fås ud fra ligning (4.1), hvis de relative standardusikkerheder w(y )=u(y)/½y½ og w(xi)=u(xi)/½xi½ benyttes,

(4.9)

4.6 Hvis to inputstørrelser Xi og Xk til en vis grad er korrelerede, dvs. hvis de på en eller anden måde er afhængige af hinanden, skal deres kovarians betragtes som et bidrag til usikkerheden. Bilag D gør rede for, hvordan dette skal gøres. Muligheden for at tage korrelationseffekter i betragtning afhænger af kendskabet til måleprocessen og af vurderingen af inputstørrelsernes indbyrdes afhængighed. Generelt skal man være opmærksom på, at undladelse af at tage hensyn til korrelationer mellem inputstørrelser kan føre til en fejlagtig vurdering af målestørrelsens standardusikkerhed.

4.7 Kovariansen knyttet til estimaterne af to inputstørrelser Xi og Xk kan sættes til nul eller behandles som insignifikant, hvis

(a) inputstørrelser Xi og Xk er uafhængige, f.eks. fordi de er observeret gentagne gange, men ikke samtidigt, i forskellige uafhængige forsøg, eller fordi deres værdier på anden vis er estimeret uafhængig af hinanden, eller hvis

(b) en af inputstørrelserne Xi og Xk kan betragtes som værende konstant, eller hvis

(c) en undersøgelse ikke giver informationer, der indikerer tilstedeværelsen af korrelation mellem inputstørrelser Xi og Xk.

Undertiden kan man eliminere korrelationer ved et hensigtsmæssigt valg af modelfunktion.

4.8 Usikkerhedsanalysen for en måling - undertiden betegnet målingens usikkerhedsbudget - bør indeholde en liste over alle usikkerhedskilder sammen med de dertil hørende standardusikkerheder samt de anvendte evalueringsmetoder. Ved gentagne målinger skal antallet n af observationer også anføres. For overskuelighedens skyld anbefales det at præsentere de data, der er relevante for denne analyse, i form af en tabel. I tabellen bør der henvises til alle størrelser med et fysisk symbol Xi eller en kort identifikator. For hver af disse skal der mindst anføres estimatet xi, den tilhørende standardusikkerhed u(xi), følsomhedskoefficienten ci, og usikkerhedsbidraget ui(y). Dimensionerne for hver af størrelserne bør også anføres sammen med de numeriske værdier givet i tabellen.

4.9 Et eksempel på en sådan opstilling er vist i Tabel 4.1, som finder anvendelse i tilfælde af at inputstørrelser er ukorrelerede. Standardusikkerheden knyttet til det måleresultat u(y ), som er anført i nederste højre hjørne af tabellen, er den kvadratiske sum af alle usikkerhedsbidrag i yderste højre kolonne. Den grå del af tabellen udfyldes ikke.

Tabel 4.1: Skematisk ordnet opstilling af de størrelser, estimater, standardusikkerheder, følsomhedskoefficienter og usikkerhedsbidrag, der benyttes i usikkerhedsanalysen af en måling.

1. Ekspanderet måleusikkerhed

5.1 Inden for EAL har man besluttet, at kalibreringslaboratorier, der er akkrediteret af medlemmer af EAL, skal anføre en ekspanderet usikkerhed U, der fås ved at multiplicere standardusikkerheden u( y) af outputestimatet y med en dækningsfaktor k,

(5.1)

I de tilfælde, hvor man kan knytte en normalfordeling (gaussfordeling) til målestørrelsen, og standardusikkerheden knyttet til outputestimatet er tilstrækkeligt pålideligt, skal dækningsfaktoren k = 2 benyttes som standard. Den ekspanderede usikkerhed svarer da til en dækningssandsynlighed på ca. 95%. Disse betingelser er opfyldt i de fleste tilfælde, som man kommer ud for ved kalibrering.

5.2 Antagelsen om at outputstørrelsen er normaltfordelt er ikke altid let at bekræfte eksperimentelt. I de tilfælde, hvor der er flere (dvs. N ³ 3) usikkerhedskomponenter - afledt af fornuftige sandsynlighedsfordelinger f.eks. normalfordelinger eller rektangulære fordelinger af uafhængige størrelser - som giver sammenlignelige bidrag til standardusikkerheden knyttet til outputestimatet, er betingelserne for den centrale grænseværdisætning imidlertid opfyldt og man kan med god tilnærmelse antage, at outputstørrelsen er normalfordelt.

5.3 Pålideligheden af standardusikkerheden knyttet til outputestimatet, er bestemt ved dens effektive antal frihedsgrader (se Bilag E). Pålidelighedskriteriet er imidlertid altid opfyldt, hvis ingen af usikkerhedsbidragene er fremkommet ved en Type A evaluering baseret på mindre end 10 gentagne observationer.

5.4 Hvis en af disse betingelser (normalitet eller tilstrækkelig pålidelighed) ikke er opfyldt, kan den som standard anvendte dækningsfaktor k = 2 give en ekspanderet usikkerhed som svarer til en dækningssandsynlighed på mindre end 95%. I disse tilfælde skal der benyttes andre fremgangsmåder for at sikre, at der angives en ekspanderet usikkerhed, som har samme dækningssandsynlighed som i det normale tilfælde. Det er vigtigt at benytte tilnærmelsesvis samme dækningssandsynlighed, når to måleresultater for samme størrelse skal sammenlignes, f.eks. når man bedømmer resultaterne fra en præstationsprøvning eller bedømmer overholdelsen af en specifikation.

5.5 Selv om man kan forudsætte at outputstørrelsen er normalfordelt, kan det stadig forekomme, at standardusikkerheden knyttet til outputestimatet, ikke er tilstrækkeligt pålideligt. Hvis det i et sådant tilfælde ikke er formålstjenligt at forøge antallet n af gentagne målinger eller at benytte en Type B evaluering i stedet for en upålidelig Type A evaluering, bør man benytte den i Bilag E beskrevne metode.

5.6 For alle tilfælde, hvor det ikke kan forudsættes at outputstørrelsen er normalfordelt, skal der benyttes oplysninger om outputestimatets faktiske sandsynlighedsfordeling for at få en værdi for dækningsfaktoren k, der svarer til en dækningssandsynlighed på ca. 95%.

1. Angivelse af måleusikkerhed i kalibreringscertifikater

6.1 I kalibreringscertifikater skal det fuldstændige måleresultat bestående af estimatet y af målestørrelsen og den tilhørende ekspanderede usikkerhed U angives på formen (y±U). Der skal dertil føjes en forklarende note, som i det generelle tilfælde bør have følgende indhold:

Den rapporterede ekspanderede usikkerhed er angivet som standardusikkerheden multipliceret med dækningsfaktoren k = 2, som for en normalfordeling svarer til en dækningssandsynlighed på ca. 95%. Standardusikkerheden er fastlagt i overensstemmelse med EAL-R2.

6.2 I tilfælde, hvor man har fulgt fremgangsmåden i Bilag E, bør den forklarende note imidlertid være udformet som følger:

Den rapporterede ekspanderede usikkerhed er angivet som standardusikkerheden multipliceret med dækningsfaktoren k = XX, som for en t-fordeling med veff = YY effektive frihedsgrader svarer til en dækningssandsynlighed på ca. 95%. Standardusikkerheden er fastlagt i overensstemmelse med EAL-R2.

6.3 Den numeriske værdi af måleusikkerheden bør angives med højst to betydende cifre. Den numeriske værdi af måleresultatet bør i den endelige angivelse normalt afrundes til det mindst betydende ciffer i værdien for den ekspanderede usikkerhed knyttet til måleresultatet. Ved afrundingen skal de sædvanlige regler for afrunding af tal benyttes (yderligere oplysninger om afrunding er anført i ISO 31-0:1992, Bilag B). Hvis afrundingen reducerer den numeriske værdi af måleusikkerheden med mere end 5%, skal den oprundede værdi dog benyttes.

1. Trinvis procedure for beregning af måleusikkerheden

7.1 Følgende er en vejledning i brug af dette dokument i praksis (jf. de udarbejdede eksempler i særskilte supplerende dokumenter):

(a) Udtryk målestørrelsen (outputstørrelsen) Y's afhængighed af inputstørrelserne Xi matematisk i henhold til ligning (2.1). I tilfælde af direkte sammenligning af to normaler kan ligningen være meget enkel, f.eks. Y = X1 + X2.

(b) Find og anvend alle signifikante korrektioner.

(c) Opstil alle usikkerhedskilder i form af en usikkerhedsanalyse i henhold til afsnit 4.

(d) Beregn standardusikkerheden u() for størrelser målt gentagne gange i henhold til underafsnit 3.2.

(e) Benyt standardusikkerheden for enkeltværdier, f.eks. resulterende værdier af tidligere målinger, korrektionsværdier eller værdier fra litteraturen, hvis den er opgivet eller kan beregnes i henhold til stk. 3.3.2 (a). Vær opmærksom på den måde, usikkerheden er angivet på. Hvis der ikke er data til rådighed, som standardusikkerheden kan udledes af, anføres en værdi for u(xi ) på grundlag af videnskabelig erfaring.

(f) Beregn middelværdien og standardusikkerheden u(xi) i henhold til stk. 3.3.2 (b) for de inputstørrelser, hvor sandsynlighedsfordelingen er kendt eller kan antages. Hvis kun de øvre og nedre grænser er givet eller kan estimeres, beregnes middelværdien og standardusikkerheden u(xi) i henhold til stk. 3.3.2 (c).

(g) Beregn, for hver inputstørrelse Xi, bidraget ui(y) til usikkerheden knyttet til outputestimatet fra inputestimatet xi i henhold til ligning (4.2) og ligning (4.3), og summér deres kvadrater som beskrevet i ligning (4.1) for at få kvadratet på standardusikkerheden u(y) for målestørrelsen. Anvend den i Bilag D beskrevne fremgangsmåde, hvis inputstørrelserne er korrelerede.

(h) Beregn den ekspanderede usikkerhed U ved at multiplicere standardusikkerheden u(y) på outputestimatet med en dækningsfaktor k, der er valgt i henhold til afsnit 5.

(i) Angiv resultatet af målingen bestående af estimatet y for målestørrelsen, den tilhørende ekspanderede usikkerhed U samt dækningsfaktoren k i kalibreringscertifikatet i henhold til afsnit 6.

1. Referencer

[1] Guide to the expression of uncertainty in measurement

First edition 1993, rettet og genoptrykt 1995,

International Organisation for Standardisation (Genève, Schweiz).

Svarer til DS/INF 94-2 "Retningslinier for at udtrykke måleusikkerhed".

[2] International vocabulary of basic and general terms in metrology

Second Edition 1993,

International Organisation for Standardisation (Genève, Schweiz).

Oversat i DS 2344: Metrologi. Terminologi. Grundlæggende generelle begreber.

[3] International Standard ISO 3534-1

Statistics - Vocabulary and symbols

• Part I: Probability and general statistical terms

First Edition 1993,

International Organisation for Standardisation (Genève, Schweiz).

DS 2163 udgivet i 1980 med titlen: "Statistik terminologi og symboler" er baseret på ISO 3534 der er udgivet i 1977.

Bilag A

Bemærkninger til bedømmelsen af bedste måleevne

A1 Bedste måleevne (se hovedtekstens afsnit 1.) er en af de parametre, der benyttes til at definere akkrediteringsområdet for et akkrediteret kalibreringslaboratorium, hvor de andre er fysisk størrelse, kalibreringsmetode eller instrumenttype, der kan kalibreres, samt måleområde. Den bedste måleevne anføres normalt i akkrediteringsdokumentet eller anden dokumentation, f.eks. måleevneskemaet, der supplerer akkrediteringsbeslutningen eller akkrediteringsdokumentet, som i mange tilfælde udstedes som bevis for akkrediteringen. Undertiden anføres den både i akkrediteringsdokumentet og i de underliggende dokumenter. Bedste måleevne er en af de vigtigste oplysninger, som findes i de oversigter over akkrediterede laboratorier, som regelmæssigt udsendes af akkrediteringsorganer og som benyttes af potentielle kunder af akkrediterede laboratorier til vurdering af, om et laboratorium er egnet til at udføre et bestemt kalibreringsarbejde på laboratoriet eller hos kunden.

A2 For at gøre det muligt at sammenligne forskellige kalibreringslaboratoriers formåen - navnlig laboratorier, der er akkrediteret af forskellige akkrediteringsorganer - må angivelsen af bedste måleevne nødvendigvis harmoniseres. For at lette dette arbejde er der nedenfor anført nogle forklaringer på udtrykket bedste måleevne - på grundlag af den definition af udtrykket, der er anført i hovedteksten.

A3 Udtrykket "mere eller mindre rutinemæssige kalibreringer" dækker over, at laboratoriet skal være i stand til at opnå den anførte måleevne ved det normale arbejde, det udfører i henhold til dets akkreditering. Det er klart, at der vil være tilfælde, hvor laboratoriet ville være i stand til at yde en bedre indsats som resultat af indgående undersøgelser og ekstra forholdsregler, men disse tilfælde er ikke dækket af definitionen af bedste måleevne, medmindre det er laboratoriets udtalte politik at udføre den slags videnskabelige undersøgelser (i hvilket tilfælde disse bliver til "mere eller mindre rutinemæssige kalibreringer" for laboratoriet).

A4 Når betegnelsen "næsten ideel" er medtaget i definitionen, betyder det, at den bedste måleevne ikke bør afhænge af egenskaber for det objekt, der skal kalibreres. Det, der ligger i begrebet "næsten ideel" er således, at der ikke bør være noget væsentligt bidrag til måleusikkerheden, som kan tilskrives fysiske påvirkninger, der er en følge af mangler ved det objekt, der skal kalibreres. Det er underforstået, at et sådant objekt skal eksistere. Hvis det konstateres, at selv det mest "ideelle" objekt, der eksisterer i et bestemt tilfælde, bidrager til måleusikkerheden, skal dette bidrag medtages i fastlæggelsen af den bedste måleevne - og det bør angives, at den bedste måleevne refererer til kalibrering af et sådant objekt.

A5 Definitionen af den bedste måleevne indebærer, at et laboratorium inden for dets akkreditering ikke har ret til at påberåbe sig en lavere måleusikkerhed end dets bedste måleevne. Dette betyder, at laboratoriet skal angive en større måleusikkerhed, end hvad der svarer til den bedste måleevne, i de tilfælde, hvor det konstateres, at den aktuelle kalibrering tilfører et signifikant bidrag til måleusikkerheden. Typisk kan det være det udstyr, der er under kalibrering, der tilfører et bidrag. Det er klart, at den faktiske måleusikkerhed aldrig kan være mindre end den bedste måleevne. Når den faktiske usikkerhed angives, skal man anmode laboratoriet om at anvende de i nærværende dokument indeholdte principper.

A6 Det bør påpeges, at i henhold til definitionen af den bedste måleevne finder begrebet kun anvendelse på resultater, med hensyn til hvilke laboratoriet påberåber sig sin status som akkrediteret laboratorium. Strengt taget er udtrykket således af administrativ art og behøver ikke nødvendigvis afspejle laboratoriets egentlige tekniske kunnen. Det bør være muligt for et laboratorium at ansøge om akkreditering med en større måleusikkerhed end dets tekniske kunnen, hvis laboratoriet har interne grunde til at gøre det. Sådanne interne grunde omfatter sædvanligvis tilfælde, hvor den reelle kunnen skal holdes fortrolig i forhold til eksterne kunder, f.eks. når der udføres forsknings- og udviklingsarbejde eller når man yder service over for særlige kunder. Akkrediteringsorganets politik bør gå ud på at give akkreditering på det niveau, der er ansøgt om, hvis laboratoriet er i stand til udføre kalibrering på dette niveau. (Denne betragtning refererer ikke blot til den bedste måleevne, men til alle parametre, der definerer et kalibreringslaboratoriums akkrediteringsområde).

A7 Bedømmelsen af den bedste måleevne er akkrediteringsorganets opgave. Bedømmelsen af den måleusikkerhed, der definerer den bedste måleevne, bør følge den fremgangsmåde, der er fastsat i nærværende dokument, bortset fra det tilfælde, der er omtalt i foregående underafsnit. Den bedste måleevne skal angives på samme niveau som kræves for kalibreringscertifikater, dvs. i form af en ekspanderet måleusikkerhed, normalt med dækningsfaktoren k = 2. (Kun i de ekstraordinære tilfælde, hvor tilstedeværelsen af en normalfordeling ikke kan antages, eller bedømmelsen baseres på begrænsede data, skal den bedste måleevne angives med en dækningssandsynlighed på ca. 95%. Afsnit 5 i hovedteksten har yderligere oplysninger).

A8 Alle komponenter, der bidrager signifikant til måleusikkerheden, skal tages i betragtning, når man vurderer den bedste måleevne. Vurderingen af de bidrag, der vides at variere med tiden eller med enhver anden fysisk størrelse, kan baseres på grænser for mulige variationer, der antages at indtræffe under normale arbejdsbetingelser. Hvis det f.eks. vides, at den benyttede arbejdsnormal driver, må der tages hensyn til det bidrag, der skyldes at normalen driver mellem på hinanden efterfølgende kalibreringer, når man vurderer arbejdsnormalens usikkerhedsbidrag.

A9 På visse områder kan måleusikkerheden være afhængig af yderligere parametre, f.eks. den påtrykte spændings frekvens ved kalibrering af modstandsnormal. Sådanne yderligere parametre skal angives sammen med den pågældende fysiske størrelse og den bedste måleevne, der er specificeret for de yderligere parametre. Ofte kan dette gøres ved at udtrykke den bedste måleevne som en funktion af disse parametre.

A10 Den bedste måleevne bør som regel angives som talværdier. Hvis den bedste måleevne er en funktion af den størrelse, den refererer til (eller enhver anden parameter) bør den angives på analytisk form, og i så fald kan det være illustrativt at understøtte denne angivelse med et diagram. Det bør altid være entydig klart, om den bedste måleevne er angivet i absolut eller relativ form. (Sædvanligvis giver medtagelsen af den relevante enhed den nødvendige forklaring, men når det drejer sig om dimensionsløse størrelser er en særskilt angivelse påkrævet).

A11 Selv om bedømmelsen bør baseres på fremgangsmåderne beskrevet i dette dokument, er der i hovedteksten et krav om, at bedømmelsen normalt skal være "underbygget eller bekræftet af eksperimentel dokumentation". Meningen med dette krav er, at akkrediteringsorganet ikke kun bør være henvist til en vurdering af måleusikkerheden. Præstationsprøvninger, der understøtter vurderingen, må udføres under tilsyn af akkrediteringsorganet eller på dettes vegne.

Bilag B

Ordliste over nogle relevante udtryk

B1 Aritmetisk middelværdi ([ref. 3] udtryk 2.26)

Summen af værdierne divideret med antallet af værdier

B2 Bedste måleevne (afsnit 1)

Den mindste måleusikkerhed, et laboratorium kan nå for en bestemt størrelse under ideelle måleforhold, inden for dets akkrediteringsområde, når det udfører mere eller mindre rutinemæssige kalibreringer af næsten ideelle normaler, der er beregnet på at definere, realisere, bevare eller reproducere en enhed af denne størrelse eller en eller flere af dens værdier, eller når det udfører mere eller mindre rutinemæssige kalibreringer af næsten idelle måleinstrumenter, der er beregnet til måling af denne størrelse.

B3 Korrelation ([ref. 3] udtryk 1.13)

Sammenhæng eller forholdet mellem to eller flere stokastiske variable inden for en fordeling på to eller flere stokastiske variabler.

B4 Korrelationskoefficient (fra [ref. 1] afsnit C.3.6)

Målet for den relative gensidige afhængighed mellem to stokastiske variable, der er lig med forholdet mellem deres kovarians og den positive kvadratrod af produktet af deres varianser.

DS/ISO 3534 Forholdet mellem kovariansen for to stokastiske variable og produktet af deres spredninger.

B5 Kovarians (fra [ref. 1] afsnit C.3.4)

Målet for den gensidige afhængighed mellem to stokastiske variable, der er lig med middelværdien af produktet af to stokastiske variables afvigelser fra deres respektive middelværdier.

DS/ISO 3534 Det simultane centrale moment af orden 1 og 1.

B6 Dækningsfaktor ([ref. 1] udtryk 2.3.6)

En numerisk faktor, der anvendes som multiplikator af standardusikkerheden for at få en ekspanderet måleusikkerhed.

B7 Dækningssandsynlighed (fra [ref. 1] udtryk 2.3.5, Note 1)

Den (normalt store) brøkdel af den fordeling af værdier, der som resultat af en måling med rimelighed kunne tillægges målestørrelsen.

B8 Eksperimentel standardafvigelse ([ref. 2] udtryk 3.8)

Den positive kvadratrod af den eksperimentelle varians.

B9 Ekspanderet usikkerhed ([ref. 1] udtryk 2.3.5)

En størrelse, der definerer et interval omkring resultatet af en måling, der kan forventes at omfatte en stor del af den fordeling af værdier, der med rimelighed kunne tillægges målestørrelsen.

B10 Eksperimentel varians (fra [ref. 1] afsnit 4.2.2)

Den størrelse, der karakteriserer spredningen af resultaterne af en serie på n observationer af samme målestørrelse og som er givet ved ligning (3.2) i teksten.

B11 Inputestimat (fra [ref. 1] afsnit 4.1.4)

Estimat af en inputstørrelse, der benyttes ved vurdering af resultatet af en måling.

B12 Inputstørrelse (fra [ref. 1] afsnit 4.1.2)

En størrelse, som målestørrelsen afhænger af og som tages i betragtning ved vurdering af resultatet af en måling.

B13 Målestørrelse ([ref. 2] udtryk 2.6)

Bestemt størrelse, der er genstand for måling.

B14 Outputestimat (fra [ref. 1] afsnit 4.1.4)

Resultatet af en måling beregnet ud fra inputestimaterne ved modelfunktionen.

B15 Outputstørrelse (fra [ref. 1] afsnit 4.1.2)

Den størrelse, der repræsenterer målestørrelsen ved evalueringen af en måling.

B16 Kumuleret variansestimat (fra [ref. 1] afsnit 4.2.4)

Et estimat over den eksperimentelle varians, der er opnået ved store serier af observationer af samme målestørrelse i veldefinerede målinger under statistisk styring.

B17 Sandsynlighedsfordeling ([ref. 3] udtryk 1.3)

En funktion, som giver sandsynligheden for, at en stokastisk variabel antager enhver given værdi eller tilhører enhver given mængde.

B18 Stokastisk variabel (fra [ref. 3] udtryk 1.2)

En funktion, som kan antage enhver værdi i en mængde af værdier som har tilknyttet en sandsynlighedesfordeling.

B19 Relativ standardusikkerhed (fra [ref. 1] afsnit 5.1.6)

Standardusikkerheden for en størrelse divideret med estimatet af denne størrelse.

B20 Følsomhedskoefficient knyttet til et inputestimat (fra [ref. 1] afsnit 5.1.3)

Den differentielle ændring i outputestimatet, der er resultat af en differentiel ændring i et inputestimat, divideret med ændringen i dette inputestimat.

B21 Standardafvigelse (fra [ref. 3] udtryk 1.23)

Den positive kvadratrod af variansen.

B22 Standardusikkerhed ([ref. 1] udtryk 2.3.1)

Måleusikkerheden udtrykt som standardafvigelsen.

B23 Type A evalueringsmetode ([ref. 1] udtryk 2.3.2)

Metode til evaluering af måleusikkerhed ved statistisk analyse af serier af observationer.

B24 Type B evalueringsmetode ([ref. 1] udtryk 2.3.3)

Metode til evaluering af måleusikkerhed ved andre midler end statistisk analyse af serier af observationer.

B25 Måleusikkerhed ([ref. 2] udtryk 3.9)

Parameter knyttet til måleresultatet, som karakteriserer spredningen af de værdier, som med rimelighed kan tillægges målestørrelsen.

B26 Varians (fra [ref. 3] udtryk 1.22)

Middelværdien af kvadratet på centrerede stokastisk variabel (en stokastisk variabel med middelværdi 0).

Bilag C

Kilder til måleusikkerhed

C1 Usikkerheden på resultatet af en måling afspejler manglen på fuldstændigt kendskab til værdien af målestørrelsen. Fuldstændigt kendskab kræver en uendelig mængde oplysninger. Fænomener, som bidrager til usikkerheden og derved til det forhold, at resultatet af en måling ikke kan karakteriseres ved en entydig værdi, kaldes usikkerhedskilder. I praksis er der mange mulige usikkerhedskilder ved en måling [ref. 1], herunder:

(a) utilstrækkelig definition af målestørrelsen,

(b) mangelfuld gennemførelse af målestørrelsens definition,

(c) Ikke repræsentativ prøveudtagning - den målte prøve repræsenterer ikke den definerede målestørrelse,

(d) ikke tilstrækkeligt kendte effekter af miljøforhold eller mangelfulde målinger af disse,

(e) personlige forskelle ved aflæsning af analoge instrumenter,

(f) begrænset instrumentopløsning eller tærskel for skelnen/opløsning,

(g) unøjagtige værdier for målenormaler og referencematerialer,

(h) unøjagtige værdier for konstanter og andre parametre, der er hentet fra eksterne kilder og som benyttes i datareduktions-algoritmen,

(i) tilnærmelser og antagelser, der er indbygget i målemetoden og -proceduren,

(j) variationer i gentagne observationer af målestørrelsen under tilsyneladende identiske betingelser.

C2 Disse kilder er ikke nødvendigvis uafhængige. Nogle af kilderne (a) - (i) kan bidrage til (j).

Bilag D

Korrelerede inputstørrelser

D1 Hvis to inputstørrelser Xi og Xk vides at være korrelerede i en vis grad - dvs. hvis de på en eller anden måde er afhængige af hinanden - skal kovariansen knyttet til de to estimater xi og xk,

(D.1)

betragtes som et yderligere bidrag til usikkerheden. Graden af korrelation karakteriseres ved korrelationskoefficienten r(xi , xk) (hvor i ¹ k og ½r½ £ 1).

D2 I tilfælde af n uafhængige par af samtidigt gentagne observationer af to størrelser P og Q er kovariansen knyttet til de aritmetiske middelværdier og givet ved

(D.2)

og ved substitution kan r beregnes ud fra ligning (D.1).

D3 For influensstørrelser må enhver grad af korrelation baseres på erfaring. Når der er korrelation, skal ligning (4.1) erstattes af

(D.3)

hvor ci og ck er følsomhedskoefficienterne defineret ved ligning (4.3) eller

(D.4)

hvor bidraget ui(y) til standardusikkerheden på outputestimatet y, der følger af standardusikkerheden på inputestimatet xi er givet ved ligning (4.2). Det bør bemærkes, at resultatet af den anden summation af led i ligning (D.3) eller (D.4) kan få negativt fortegn.

D4 I praksis er inputstørrelser ofte korrelerede, fordi den samme fysiske referencenormal, måleinstrument, referencenulpunkt eller endog målemetode med en signifikant usikkerhed benyttes ved evaluringen af deres værdier. Lad os som generelt eksempel antage, at to inputstørrelser X1 og X2, der er estimeret ved x1 og x2, afhænger af sættet af uafhængige variable Ql (l = 1,2,..., L)

(D.5)

skønt nogle af disse variable måske ikke nødvendigvis optræder i begge funktioner. Estimaterne x1 og x2 af inputstørrelserne vil til en vis grad være korrelerede, selv om estimaterne ql (l = 1,2,..., L) er ukorrelerede. Så er kovariansen u(x1, x2) knyttet til estimaterne x1 og x2 givet ved

(D.6)

hvor c1l og c2l er følsomhedskoefficienterne afledt af funktionerne g1 og g2 i analogi med ligning (4.3). Eftersom kun de led for hvilken følsomhedskoefficienterne ikke er nul bidrager til summen, er kovariansen nul, hvis der ikke er nogen variabel, der er fælles for funktionerne g1 og g2. Korrelationskoefficienten r(x1, x2 ) knyttet til estimaterne x1 og x2 bestemmes af ligning (D.6) sammen med ligning (D.1).

D5 Følgende eksempel viser de korrelationer, der findes mellem værdier, som er tillagt to brugsnormaler, der er kalibreret op mod samme referencenormal.

Måleproblem

De to normaler X1 og X2 sammenlignes med referencenormalen Qs ved hjælp af et målesystem, der er i stand til at bestemme en forskel z i deres værdier med en tilhørende standardusikkerhed u(z). Værdien qs for referencenormalen er kendt med standardusikkerheden u(qs).

Matematisk model

Estimaterne x1 og x2 afhænger af værdien qs af referencenormalen og de observerede forskelle z1 og z2 i henhold til relationerne

(D.7)

Standardusikkerheder og kovarianser

Estimaterne z1, z2 og qs anses for at være ukorrelerede, fordi de er blevet bestemt ved forskellige målinger. Standardusikkerhederne beregnes ud fra ligning (4.4), og kovariansen knyttet til estimaterne x1 og x2 beregnes ud fra ligning (D.6), idet det antages at u(z1) = u(z2) = u(z),

(D.8)

Korrelationskoefficienten udledt af disse resultater, er

(D.9)

Dens værdi går fra 0 til +1 afhængigt af forholdet mellem standardusikkerhederne u(qs) og u(z).

D6 Eksemplet beskrevet ved ligning (D.5) er et tilfælde, hvor man kan undgå at medtage korrelation i vurderingen af målestørrelsens standardusikkerhed ved et hensigtsmæssigt valg af modelfunktionen. Introduktionen af de uafhængige variable Ql - ved at erstatte de oprindelige variable X1 og X2 i modelfunktionen f i henhold til transformationsligningerne (D.5) - giver en ny modelfunktion, der ikke længere indeholder de korrelerede variable X1 og X2.

D7 Der forekommer imidlertid tilfælde, hvor korrelation mellem to inputstørrelser X1 og X2 ikke kan undgås, f.eks. brug af samme måleinstrument eller samme referencenormal ved fastlæggelsen af inputestimaterne x1 og x2, men hvor transformationsligninger for nye uafhængige variable ikke er til rådighed. Hvis desuden korrelationsgraden ikke kendes nøjagtigt, kan det være nyttigt at bedømme den maksimale indflydelse, denne korrelation kan have, ved en vurdering af den øvre grænse for målestørrelsens standardusikkerhed, som får følgende form - i det tilfælde, hvor der ikke skal tages hensyn til andre korrelationer:

(D.10)

hvor ur(y) er bidraget til standardusikkerheden fra alle de resterende inputstørrelser, der antages at være ukorrelerede.iv

Bilag E

Dækningsfaktorer udledt af effektive antal frihedsgrader

E1 For at estimere værdien af en dækningsfaktor k svarende til en specificeret dækningssandsynlighed er det nødvendigt, at pålideligheden af standardusikkerheden u(y) af outputestimatet y tages i betragtning. Dvs. at der skal tages hensyn til, hvor godt u(y) estimerer standardafvigelsen knyttet til måleresultatet. For et estimat over standardafvigelsen af en normalfordeling er antallet af frihedsgrader for dette estimat - der afhænger af størrelsen af den stikprøve, det er baseret på - et mål for pålideligheden. På lignende måde er et brugbart mål for pålideligheden af standardafvigelsen knyttet til et outputestimat, dens effektive antal frihedsgrader veff, hvis tilnærmede værdi fås ved en passende kombination af det effektive antal frihedsgrader af dens forskellige usikkerhedsbidrag ui(y).

E2 Fremgangsmåden for beregning af en passende dækningsfaktor k, når betingelserne for den centrale grænseværdisætning er opfyldt, omfatter følgende tre trin:

(a) Udled standardusikkerheden knyttet til outputestimatet i henhold til den trinvise procedure anført i afsnit 7.

(b) Beregn det effektive antal frihedsgrader veff af standardusikkerheden u(y) knyttet til outputestimatet y ud fra Welch-Satterthwaite's formel:

(E.1)

hvor ui(y) (i = 1,2,..., N), der er defineret i ligning (4.2), er bidragene til standardusikkerheden knyttet til det outputestimat y, hidrørende fra standardusikkerhederne knyttet til inputestimaterne xi, som antages at være gensidigt statistisk uafhængige, og vi er det effektive antal frihedsgrader for standardusikkerhedsbidraget ui(y).

For en standardusikkerhed u(), der er opnået ved en Type A evaluering som omtalt i afsnit 3.1, er antallet af frihedsgrader givet ved vi = n -1. Det er mere problematisk at sætte antallet af frihedsgrader i relation til en standardusikkerhed u(xi), som er opnået ved en Type B evaluering. Det er imidlertid almindelig praksis at gennemføre sådanne evalueringer på en måde, der sikrer, at man undgår underestimering. Hvis der f.eks. sættes øvre og nedre grænser a+ og a-, vælges de sædvanligvis på en sådan måde, at sandsynligheden for, at den pågældende størrelse ligger uden for disse grænser er meget lille. Under forudsætning af, at denne praksis følges, kan frihedsgraderne for standardusikkerheden u(xi) på grundlag af en Type B evaluering, tages som .

(c) Dækningsfaktoren k tages fra Tabel E.1 i dette bilag. Tabellen er baseret på en t-fordeling og giver en dækningssandsynlighed på 95,45%. Hvis veff ikke er et heltal, hvad der normalt vil være tilfældet, trunkeres veff nedad til det nærmeste heltal.

Tabel E.1: Dækningsfaktorer k for forskellige effektive antal frihedsgrader veff